Паркетная комбинаторика

Содержание

Виды, типы паркета

Паркетная комбинаторика

Штучный паркет является самым распространенным видом среди своих собратьев. Покрытие из штучного паркета состоит из планок с пазами и гребнями (шипами), которые, соединяясь в замок, образуют единую конструкцию. Материал изготовления: твердые породы древесины.

Толщина планок находится в диапазоне 15-22 мм, длина достигает 50 см, толщина 7,5 см.

Штучный паркет имеет неплохие преимущества перед остальными видами покрытия:

  • Долговечность;
  • Возможность многократного ремонта;
  • Разнообразие видов укладки различными рисунками.

Классификация штучного паркета по распилу рисунков:

  • Селект – мелкий рисунок.
  • Натур – часто повторяющийся рисунок с мелкими сучками.
  • Гест – контрастно смешанный распил.
  • Классик – текстурированный рисунок.
  • Универсал – изменчивый рисунок с небольшими сучками.
  • Антик – сильно меняющийся рисунок с различными оттенками.

Наборный (мозаичный) паркет

Свое название мозаичный вид паркета получил из-за того, что в щитках размерами 40×40 или 60×60 см находится набор паркетных планок разных оттенков. Толщина планок 8-12 мм. Готовый паркетный пол из таких щитков будет представлять собой интересную мозаику (также можно выкладывать рисунки).

Лицевая сторона наборного паркета защищена специальной бумагой, которую нужно удалять после укладки всего покрытия. К нижней стороне можно приклеивать звукоизоляцию.

По профилю пазов (кромок) и способов крепления к основанию наборный паркет может быть 4-х типов:

  • Клепка с фальцем. Со всех сторон планки есть косые фальцы, суть которых в том, чтобы скреплять паркет мастикой или горячим битумом. Такой паркет наиболее долговечен.
  • Клепка с косым пазом. По всему периметру планки есть косые пазы, усиливающие крепление.
  • Крепление на твердую рейку. Высокую прочность данного типа крепления обеспечивают гвозди, которыми планки прибиваются к основанию. С двух сторон планка имеет грубни, с других – пазы.
  • Крепление на мягкую рейку. По всему периметру планок есть пазы. Чтобы планки не разъезжались, в стык пазов вставляют рейку.

Щитовой паркет

В состав щитового паркета входят 2 слоя. Первый слой – непосредственно квадратный щит из досок или ДВП, второй слой (лицевой) – мелкие планки твердых пород древесины. Размеры щитов могут доходить до 80×80 см; толщина 15-30 мм. Лицевой слой покрыт лаком.

Основной рисунок на щитовом паркете – квадрат или его производные. В отдельных случаях можно изготовить рисунок на заказ.

Типы оснований щитового паркета:

  • Рамочное. Рамки представляют собой обвязку с угловым соединением на клею и на щипах. Рейки внутри обвязки крепятся на прямой несквозной шип.
  • Реечное. Основание облицовывается пущенным шпоном с обеих сторон.
  • Основание из ДСП или ЦСП.
  • Двухреечное. Рейки склеиваются в перпендикулярном направлении.

Типы лицевого покрытия щитового паркета:

  • Паркетные планки;
  • Квадратный строганый (или пущенный) шпон;
  • Фанерная облицовочная плита.

Дворцовый (художественный) паркет

Это самый дорогой паркет, о чем и говорит его название (также его еще называют художественным паркетом). Дворцовый может обладать множеством изгибов и переплетений для создания не просто рисунка на из покрытия пола, а настоящего произведения искусства.

Естественно, такой паркет могут позволить себе состоятельные люди с большой жилой площадью. Чтобы изготовить пол из дворцового паркета по прихоти хозяина дома, нужно сделать всевозможные замеры.

Благо, уже существует высокоточное оборудование, позволяющее создавать различные варианты паркетных планок для конструкции большого пола из дворцового паркета.

При создании дворцового художественного паркета может применяться несколько десятков пород деревьев, что делает покрытие абсолютно уникальным даже по составу.

Для дворцового паркета нужно с умом подбирать породы древесины, чтобы перепады влажности, температуры влияли на каждую породу, не мешая другим.

Массивный паркет

Массивная паркетная доска состоит из цельного (и ценного, поэтому стоит дороже) куска древесины. Массивный паркет приходится старшим братом штучному паркету (так же имеет пазы и гребни (шипы) для фиксации в процессе укладки). По сути, различие между ними лишь в размерах: ширина от 8 см, длина может достигать нескольких метров, толщина от 15 мм.

Паркетная доска

Паркетную доску называют трехслойной, потому что она состоит из трех кусков натуральной древесины. Волокна слоев поперечны друг другу, поэтому доска хорошо выдерживает перепады температуры и влажности. Нижние слои состоят из хвойных пород, а верхний — из ценой прочной древесины.

Верхний слой может быть цельным, а может состоять из 3-х-4-х планок для создания более мозаичного оттенка покрытия пола.

Размеры трехслойной паркетной доски: длина 120-27- см, ширина 13-21 мм, толщина 7-23 мм. Как правило, паркетная доска при производстве сразу покрывается лаком.

Ламинат

Ламинированный паркет состоит не из натурального дерева, а только лишь имитирует ее структуру.

Ламинат состоит из 4-х слоев:

  • Ламинированный верхний слой (акриловая или меламиновая смола).
  • Декоративный слой – определяет текстуру покрытия (помимо дерева ламинат может имитировать и камень, и керамическую плитку).
  • Основной слой – ДВП или ДСП высокой плотности.
  • Нижний слой для защиты от влажности.

Общая толщина всех этих слоев может быть от 7 до 11 мм.

Пронто-паркет

Многослойный штучный паркет называется пронто-паркетом. Для его изготовления применяются качественные породы древесины. Особенно для верхнего слоя, который выполняют из дуба, грецкого ореха, красного дерева.

Процесс создания многослойного штучного паркета требует времени (до 7 месяцев): приданию древесине высоких прочностных характеристик способствует высокотехнологичная термообработка. Затем древесину шлифуют.

Пронто-паркет бывает как лакированный (стоит в 2 раза дороже), так и нелакированный.

Источник: https://gold-cottage.ru/poly/vidy_tipy_parketa.html

Перестановки, размещения и сочетания. Формулы

Паркетная комбинаторика

Чтобы в материале было легче ориентироваться, добавлю содержание данной темы:

Введение. Множества и выборки

В этой теме рассмотрим основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения. Выясним их суть и формулы, по которым можно найти их количество.

Для работы нам понадобятся кое-какие вспомогательные сведения. Начнём с такого фундаментального математического понятия как множество. Подробно понятие множества было раскрыто в теме “Понятие множества. Способы задания множеств”.

Очень краткий рассказ про множества: показать\скрыть

Если вкратце: множеством именуют некую совокупность объектов. Записывают множества в фигурных скобках. Порядок записи элементов роли не играет; повторения элементов не допускаются. Например, множество цифр числа 11115555999 будет таким: $\{1,5,9 \}$.

Множество согласных букв в слове “тигрёнок” таково: $\{т, г, р, н, к\}$. Запись $5\in A$ означает, что элемент 5 принадлежит множеству $A=\{1,5,9 \}$. Количество элементов в конечном множестве называют мощностью этого множества и обозначают $|A|$.

Например, для множества $A=\{1,5,9 \}$, содержащего 3 элемента, имеем: $|A|=3$.

Рассмотрим некое непустое конечное множество $U$, мощность которого равна $n$, $|U|=n$ (т.е. в множестве $U$ имеется $n$ элементов). Введём такое понятие, как выборка (некоторые авторы именуют её кортежем).

Под выборкой объема $k$ из $n$ элементов (сокращённо $(n,k)$-выборкой) будем понимать набор элементов $(a_1, a_2,\ldots, a_k)$, где $a_i\in U$. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком элементов, являются различными.

Если порядок следования элементов выборки не является существенным, то выборку именуют неупорядоченной.

Заметьте, что в определении выборки ничего не сказано про повторения элементов. В отличие от элементов множеств, элементы выборки могут повторяться.

Для примера рассмотрим множество $U=\{a,b,c,d,e\}$. Множество $U$ содержит 5 элементов, т.е. $|U|=5$. Выборка без повторений может быть такой: $(a,b,c)$. Данная выборка содержит 3 элемента, т.е. объём этой выборки равен 3. Иными словами, это $(5,3)$-выборка.

Выборка с повторениями может быть такой: $(a,a,a,a,a,c,c,d)$. Она содержит 8 элементов, т.е. объём её равен 8. Иными словами, это $(5,8)$-выборка.

Рассмотрим ещё две $(5,3)$-выборки: $(a,b,b)$ и $(b,a,b)$. Если мы полагаем наши выборки неупорядоченными, то выборка $(a,b,b)$ равна выборке $(b,a,b)$, т.е. $(a,b,b)=(b,a,b)$. Если мы полагаем наши выборки упорядоченными, то $(a,b,b)eq(b,a,b)$.

Рассмотрим ещё один пример, немного менее абстрактный 🙂 Предположим, в корзине лежат шесть конфет, причём все они различны. Если первой конфете поставить в соответствие цифру 1, второй конфете – цифру 2 и так далее, то с конфетами в корзине можно сопоставить такое множество: $U=\{1,2,3,4,5,6\}$.

Представьте, что мы наугад запускаем руку в корзинку с целью вытащить три конфеты. Вытащенные конфеты – это и есть выборка. Так как мы вытаскиваем 3 конфеты из 6, то получаем (6,3)-выборку. Порядок расположения конфет в ладони совершенно несущественен, поэтому эта выборка является неупорядоченной. Ну, и так как все конфеты различны, то выборка без повторений.

Итак, в данной ситуации говорим о неупорядоченной (6,3)-выборке без повторений.

Теперь подойдём с иной стороны. Представим себе, что мы находимся на фабрике по производству конфет, и на этой фабрике производятся конфеты четырёх сортов. Множество $U$ в этой ситуации таково: $U=\{1,2,3,4 \}$ (каждая цифра отвечает за свой сорт конфет).

Теперь вообразим, что все конфеты ссыпаются в единый жёлоб, около которого мы и стоим. И, подставив ладони, из этого потока отбираем 20 конфет. Конфеты в горсти – это и есть выборка.

Играет ли роль порядок расположения конфет в горсти? Естественно, нет, поэтому выборка неупорядоченная. Всего 4 сорта конфет, а мы отбираем двадцать штук из общего потока – повторения сортов неизбежны.

При этом выборки могут быть самыми различными: у нас даже могут оказаться все конфеты одного сорта. Следовательно, в этой ситуации мы имеем дело с неупорядоченной (4,20)-выборкой с повторениями.

Рассмотрим ещё пару примеров. Пусть на кубиках написаны различные 7 букв: к, о, н, ф, е, т, а. Эти буквы образуют множество $U=\{к,о,н,ф,е,т,а\}$. Допустим, из данных кубиков мы хотим составить “слова” из 5 букв. Буквы этих слов (к примеру, «конфе», «тенко» и так далее) образуют (7,5)-выборки: $(к,о,н,ф,е)$, $(т,е,н,к,о)$ и т.д.

Очевидно, что порядок следования букв в такой выборке важен. Например, слова «нокфт» и «кфтон» различны (хотя состоят из одних и тех же букв), ибо в них не совпадает порядок букв. Повторений букв в таких «словах» нет, ибо в наличии только семь кубиков.

Итак, набор букв каждого слова представляет собой упорядоченную (7,5)-выборку без повторений.

Еще один пример: мы составляем всевозможные восьмизначные числа из четырёх цифр 1, 5, 7, 8. Например, 11111111, 15518877, 88881111 и так далее. Множество $U$ таково: $U=\{1,5,7,8\}$.

Цифры каждого составленного числа образуют (4,8)-выборку. Порядок следования цифр в числе важен, т.е. выборка упорядоченная.

Повторения допускаются, поэтому здесь мы имеем дело с упорядоченной (4,8)-выборкой с повторениями.

Размещения без повторений из $n$ элементов по $k$

Размещение без повторений из $n$ элементов по $k$ – упорядоченная $(n,k)$-выборка без повторений.

Так как элементы в рассматриваемой выборке повторяться не могут, то мы не можем отобрать в выборку больше элементов, чем есть в исходном множестве. Следовательно, для таких выборок верно неравенство: $n≥ k$. Количество размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ определяется следующей формулой:

\begin{equation}A_{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!} \end{equation}

Что обозначает знак “!”? : показать\скрыть

Запись “n!” (читается “эн факториал”) обозначает произведение всех чисел от 1 до n, т.е.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

По определению полагается, что $0!=1!=1$. Для примера найдём 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Пример №1

Алфавит состоит из множества символов $E=\{+,*,0,1,f\}$. Определим количество таких трёхсимвольных слов в этом алфавите, которые не содержат повторяющихся букв.

Решение

Под трёхсимвольными словами будем понимать выражения вида “+*0” или “0f1”. В множестве $E$ пять элементов, поэтому буквы трехсимвольных слов образуют (5,3)-выборки. Первый вопрос: эти выборки упорядочены или нет? Слова, которые отличаются лишь порядком букв, полагаются различными, поэтому порядок элементов в выборке важен. Значит, выборка является упорядоченной.

Второй вопрос: допускаются повторения или нет? Ответ на этот вопрос даёт условие: слова не должны содержать повторяющихся букв. Подводим итоги: буквы каждого слова, удовлетворяющего условию задачи, образуют упорядоченную (5,3)-выборку без повторений. Иными словами, буквы каждого слова образуют размещение без повторений из 5 элементов по 3.

Вот примеры таких размещений:

$$ (+,*,f), \; (*,+,f), \; (1,+,0) $$

Нас же интересует общее количество этих размещений. Согласно формуле (1) количество размещений без повторений из 5 элементов по 3 будет таким:

$$ A_{5}{3}=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=60. $$

Т.е. можно составить 60 трёхсимвольных слов, буквы которых не будут повторяться.

Ответ: 60.

Размещения с повторениями из $n$ элементов по $k$

Размещение с повторениями из $n$ элементов по $k$ – упорядоченная $(n,k)$-выборка с повторениями.

Количество размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ определяется следующей формулой:

\begin{equation}\bar{A}_{n}{k}=nk \end{equation}

Пример №2

Сколько пятизначных чисел можно составить из множества цифр $\{5,7,2\}$?

Решение

Из данного набора цифр можно составить пятизначные числа 55555, 75222 и так далее. Цифры каждого такого числа образуют (3,5)-выборку: $(5,5,5,5,5)$, $(7,5,2,2,2)$.

Зададимся вопросом: что это за выборки? Во-первых, цифры в числах могут повторяться, поэтому мы имеем дело с выборками с повторениями. Во-вторых, порядок расположения цифр в числе важен. Например, 27755 и 77255 – разные числа.

Следовательно, мы имеем дело с упорядоченными (3,5)-выборками с повторениями. Общее количество таких выборок (т.е. общее количество искомых пятизначных чисел) найдём с помощью формулы (2):

$$ \bar{A}_{3}{5}=35=243. $$

Следовательно, из заданных цифр можно составить 243 пятизначных числа.

Ответ: 243.

Перестановки без повторений из $n$ элементов

Перестановка без повторений из $n$ элементов – упорядоченная $(n,n)$-выборка без повторений.

По сути, перестановка без повторений есть частный случай размещения без повторений, когда объём выборки равен мощности исходного множества. Количество перестановок без повторений из $n$ элементов определяется следующей формулой:

\begin{equation}P_{n}=n! \end{equation}

Эту формулу, кстати, легко получить, если учесть, что $P_n=A_{n}{n}$. Тогда получим:

$$ P_n=A_{n}{n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n! $$

Пример №3

В морозилке лежат пять порций мороженого от различных фирм. Сколькими способами можно выбрать порядок их съедения?

Решение

Пусть первому мороженому соответствует цифра 1, второму – цифра 2 и так далее. Мы получим множество $U=\{1,2,3,4,5\}$, которое будет представлять содержимое морозилки.

Порядок съедения может быть таким: $(2,1,3,5,4)$ или таким: $(5,4,3,1,2)$. Каждый подобный набор есть (5,5)-выборка. Она будет упорядоченной и без повторений.

Иными словами, каждая такая выборка есть перестановка из 5 элементов исходного множества. Согласно формуле (3) общее количество этих перестановок таково:

$$ P_5=5!=120. $$

Следовательно, существует 120 порядков выбора очередности съедения.

Ответ: 120.

Перестановки с повторениями

Перестановка с повторениями – упорядоченная $(n,k)$-выборка с повторениями, в которой элемент $a_1$ повторяется $k_1$ раз, $a_2$ повторяется $k_2$ раза так далее, до последнего элемента $a_r$, который повторяется $k_r$ раз. При этом $k_1+k_2+\ldots+k_r=k$.

Общее количество перестановок с повторениями определяется формулой:

\begin{equation}P_{k}(k_1,k_2,\ldots,k_r)=\frac{k!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \ldots \cdot k_r!} \end{equation}

Пример №4

Слова составляются на основе алфавита $U=\{a,b,d\}$. Сколько различных слов из семи символов может быть составлено, если в этих словах буква “a” должна повторяться 2 раза; буква “b” – 1 раз, а буква “d” – 4 раза?

Решение

Вот примеры искомых слов: “aabdddd”, “daddabd” и так далее. Буквы каждого слова образуют (3,7)-выборку с повторениями: $(a,a,b,d,d,d,d)$, $(d,a,d,d,a,b,d)$ и т.д.

Каждая такая выборка состоит из двух элементов “a”, одного элемента “b” и четырёх элементов “d”. Иными словами, $k_1=2$, $k_2=1$, $k_3=4$. Общее количество повторений всех символов, естественно, равно объёму выборки, т.е.

$k=k_1+k_2+k_3=7$. Подставляя эти данные в формулу (4), будем иметь:

$$ P_7(2,1,4)=\frac{7!}{2!\cdot 1!\cdot 4!}=105. $$

Следовательно, общее количество искомых слов равно 105.

Ответ: 105.

Сочетания без повторений из $n$ элементов по $k$

Сочетание без повторений из $n$ элементов по $k$ – неупорядоченная $(n,k)$-выборка без повторений.

Общее количество сочетаний без повторений из $n$ элементов по $k$ определяется формулой:

\begin{equation}C_{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!} \end{equation}

Пример №5

В корзине размещены карточки, на которых написаны целые числа от 1 до 10. Из корзины вынимают 4 карточки и суммируют числа, написанные на них. Сколько различных наборов карточек можно вытащить из корзины?

Решение

Итак, в данной задаче исходное множество таково: $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Из этого множества мы выбираем четыре элемента (т.е., четыре карточки из корзины). Номера вытащенных элементов образуют (10,4)-выборку. Повторения в этой выборке не допускаются, так как номера всех карточек различны.

Вопрос вот в чём: порядок выбора карточек играет роль или нет? Т.е., к примеру, равны ли выборки $(1,2,7,10)$ и $(10,2,1,7)$ или не равны? Тут нужно обратиться к условию задачи. Карточки вынимаются для того, чтобы потом найти сумму элементов. А это значит, что порядок карточек не важен, так как от перемены мест слагаемых сумма не изменится.

Например, выборке $(1,2,7,10)$ и выборке $(10,2,1,7)$ будет соответствовать одно и то же число $1+2+7+10=10+2+1+7=20$. Вывод: из условия задачи следует, что мы имеем дело с неупорядоченными выборками. Т.е. нам нужно найти общее количество неупорядоченных (10,4)-выборок без повторений.

Иными словами, нам нужно найти количество сочетаний из 10 элементов по 4. Используем для этого формулу (5):

$$ C_{10}{4}=\frac{10!}{(10-4)!\cdot 4!}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}=210. $$

Следовательно, общее количество искомых наборов равно 210.

Ответ: 210.

Сочетания с повторениями из $n$ элементов по $k$

Сочетание с повторениями из $n$ элементов по $k$ – неупорядоченная $(n,k)$-выборка с повторениями.

Общее количество сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ определяется формулой:

\begin{equation}\bar{C}_{n}{k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!} \end{equation}

Пример №6

Представьте себе, что мы находимся на конфетном заводе, – прямо возле конвейера, по которому движутся конфеты четырёх сортов. Мы запускаем руки в этот поток и вытаскиваем двадцать штук. Сколько всего различных “конфетных комбинаций” может оказаться в горсти?

Решение

Если принять, что первому сорту соответствует число 1, второму сорту – число 2 и так далее, то исходное множество в нашей задаче таково: $U=\{1,2,3,4\}$. Из этого множества мы выбираем 20 элементов (т.е., те самые 20 конфет с конвейера). Пригоршня конфет образует (4,20)-выборку. Естественно, повторения сортов будут.

Вопрос в том, играет роль порядок расположения элементов в выборке или нет? Из условия задачи следует, что порядок расположения элементов роли не играет. Нам нет разницы, будут ли в горсти располагаться сначала 15 леденцов, а потом 4 шоколадных конфеты, или сначала 4 шоколадных конфеты, а уж потом 15 леденцов. Итак, мы имеем дело с неупорядоченной (4,20) выборкой с повторениями.

Чтобы найти общее количество этих выборок используем формулу (6):

$$ \bar{C}_{4}{20}=\frac{(4+20-1)!}{(4-1)!\cdot 20!}=\frac{23!}{3!\cdot 20!}=1771. $$

Следовательно, общее количество искомых комбинаций равно 1771.

Ответ: 1771.

Онлайн-занятия по высшей математике

Источник: https://math1.ru/education/raznoe/combinatorics.html

» Архитектурная комбинаторика

Паркетная комбинаторика

Комбинаторика -это раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Архитектурная комбинаторика – это раздел архитектурной теории, изучающий вопросы формообразования на основе различных комбинаций.Архитектурная комбинаторика объединяет в себе концептуальную и формальную комбинаторику.

Концептуальная комбинаторика- это подбор различных концепций, идей, принципов для решения поставленных задач, образование из них любых возможных комбинаций, замена одних идей, принципов, схем и т.п. другими, корректирование, трансформация проектных идей .

Формальная комбинаторика- интерпретация идеи, принципа, образа, схемы в комбинациях материальных элементов формы и их качеств, опредмечивание идеи с помощью комбинаций элементов и качеств.

Архитектурная комбинаторика проявляется, если сравнивать повторяющиеся устойчивые формы, которые можно отнести к категории- морфотипыПри этом морфотипы существуют уже столетиями и только из века в век видоизменяются в рамках другого стиля.

К примеру морфотип- Портал:

В число комбинаторных изменяемых характеристик здесь входят:

  • размеры и пропорции портала;
  • размеры и пропорции входного проема;
  • конфигурация завершающей части проема ( тип арки, прямая балка и т.п.);
  • горизонтальные и вертикальные членения всего портала;
  • характер завершающей части портала;
  • Стилистические признаки;
  • материал и конструкция;
  • архитектурные детали;
  • Знаковое содержание (вход в храм, во дворец, в жилой дом, для массовой публики, реклама и т.д.)

Еще один пример архитектурной комбинаторики в более мелких деталях – архитектурные профили, в которых тоже меняются свойственные им признаки.

К ним относятся:

  • набор образующих элементов (полочка, скоция, валик, выступ, гусек и т.д.)
  • сечение этих элементов (высота, вынос, начертание кривых линий);
  • сочетание элементов, порядок их расположения относительно друг друга;
  • число элементов в профиле;
  • степень соответствия канону ( например ордеру).

Необходимо отметить, что комбинаторика осуществляется по многим направлениям и не сводится к простым перестановкам элементов и их сочетаниям. Это нечто больше, чем геометрическая игра с формой.

За внешним, видимыми изменениями формы существует еще одна комбинаторная сфера – это сфера идей, принципов, а также утилитарных, информативных эстетических и др. функций. Однако этот концептуальный и функциональный уровень комбинаторики изучен крайне мало.

Анализ вариантов морфотипов может дать ответ на вопрос о закономерности комбинаторики. Существует ли она? И в чем она заключается? Можно ли на ее основе создать алгоритм процесса?

ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ

На концептуальном уровне основной операцией является подбор и объединение идей, образов, принципов и т.п. , призванных инициировать процесс формального комбинирования. Идеи могут быть главными и вспомогательными. Из их сочетания складывается идейная среда, питающая формальный уровень комбинаторики.
Спектр формальных операций значительно шире. Они делятся на четыре группы:

  • 1. Выбор и замена элементов
  • 2. Изменение качеств элементов, в том числе:
  • изменение конфигурации;
  • изменение размеров;
  • раскрашивание ( т.е. присвоение негеометрических свойств)
  • 3.Позиционирование элементов, в том числе:
  • изменение интервала между элементами;
  • наслоение фигур;
  • вписывание фигур;
  • блокировка элементов и фигур.
  • 4. Изменение количества элементов

С помощью этих операций создаются любые сочетания из любых элементов. В живом творческом процессе применяют чаще всего по нескольку операций одновременно или последовательно.

ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РЕШЕТКИ

Свойства решеток наиболее часто использовались в комбинаторном проектировании.Еще в 60-е годы американский архитектор У.Неча, предложил свою «теорию поля», основанную на использовании свойств решеток для вариантного проектирования, т.е. комбинаторных процедур.Суть в том, что решетки обеспечивают упорядоченность структуры объекта. Вносят в него начало регулярности.

Решетки встречаются в градостроительных системах, в планах, фасадах, в конструктивных структурах зданий и даже в отдельных деталях зданий.Кстати распространенность и значимость решеток не является привилегией архитектуры. Они есть всюду и отражают одну из универсальных основ строения любых материальных форм.

Свойства решеток использовались в советские годы для типизации проектных решений.

По сути, модульное проектирование основано на этих свойствах.Важно отметить, что решетки очень разнообразны по своему строению, их диапазон огромен, от простых квадратных сеток до сложнейших орнаментальных композиций.Одним из свойств решеток является их размещающая способность.

Суть этого свойства состоит в том, что уменьшая или увеличивая базовую ячейку решетки, можно менять степень деталировки плана или иных конфигураций.

ПОЗИЦИОНИРОВАНИЕ

Позиционирование означает определение места того или иного элемента в создаваемой с его участием системе. Системой может быть композиция плана, фасада, генерального плана или архитектурной детали.

Формирование любой такой системы неизбежно связано с позиционированием элементов, поскольку целый ряд качеств упомянутых систем зависит исключительно от расположения их элементов.Размещая элементы в структуре, мы устанавливаем либо на плоскости, либо в пространстве их отношения между собой.

Вариантов и способов позиционирования множество: изменение интервала, наслоение объектов, по линии, параллельно, пересекая и т.д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Этот материал лишь частично открывает завесу возможности комбинаторики в архитектуре. Стоит также отметить, что архитектурная комбинаторика пока еще мало изучена.

При этом, имеет значительные перспективы потому, что вопросы математического вычисления объектов в пространстве решаются программированием. Это значит, что некоторые этапы проектных задач смогут стать автоматизированными.

Источник:

Пронин Е.С. Теоретические основы архитектурной комбинаторики.

Источник: http://arch-shop.ru/architectural-combinatorics/

Элементы комбинаторики: размещение, сочетание, перестановки и комбинации с повторением

Паркетная комбинаторика

Среди соединения различают основные виды: размещения, перестановки, комбинации, а также их виды с повторениями. Дальше мы более подробно рассмотрим каждый из этих видов соединения.

Размещение элементов комбинаторики

Пусть даны три элемента . Из них можно создать такие соединения:

1) по одному элементу: ;

2) по два элемента: ;

3) по три элемента: .

Если, например, рассматривать соединения по два элемента, тогда некоторые из них отличаются элементами ( и ), другие – порядком элементов и . Такие соединения называются размещением из 3 элементов по 2.

Число размещений обозначается . Из вышеописанного, мы видим, что , , .

Число всех возможных размещений из элементов по равняется произведению последовательных натуральных чисел, из которых большее число , то есть:

.

(1)

Действительно, пусть нам дано элементов: .

Рассмотрим размещение по одному элементу. Понятно, что их будет , то есть .

Теперь рассмотрим, какие возможные размещения по 2 элемента. Чтобы их получить, мы допишем к каждому из данных элементов ещё по одному, которые брались из остальных  элементов. Так, к элементу  допишем последовательно остальные элементы: ; к элементу последовательно остальные элементы: и т. д.

Получим все размещения из элементов по 2:

Записано строк, а число всех размещений в каждом из этих строк . Общее количество всех размещений равняется произведению на , то есть:

.

Чтобы получить рзмещение по 3 элемента в каждом, нам нужно к каждой из записанных пар элементов приобщить ещё по одному элементу из элементов, что остались.

Например, к необходимо приобщить один из элементов . Тогда всех размещений по 3 элемента будет:

и т. д.

Иногда встречаются задачи на размещение с повторениями.

Число размещений с повторениями обозначаются через  и вычисляются по формуле:

.

(2)

Перестановка элементов комбинаторики

Согласно с определением:

.

Произведение всех натуральных чисел от до обозначается , а читается ( факториал).

Таким образом,

.

Тогда формула для вычисления количества перестановок запишется:

(3)

При этом имеется ввиду, что .

Обратите внимание! Иногда встречается обозначение . Принято считать, что .

Комбинации или сочетание элементов комбинаторики

Число комбинаций вычисляется по формуле:

(4)

Формулу (4) объясним на таком примере:

Пусть даны 4 элемента , комбинациями из этих элементов по будут:

.

Порядок элементов в комбинации роли не играет. Если в каждой из этих комбинаций сделать всевозможные перестановки, тогда у нас получатся всевозможные размещения из 3 элементов:

Число таких размещений равняется .

Таким образом, число всех размещений из элементов по равняется числу всех возможных сочетаний элементов по , умноженному на число всех перестановок, которые можно сделать из элементов, то есть:

,

откуда получается формула (4).

Посмотрите пример:

.

Умножим числитель и знаменатель в формуле (4) на . Тогда получим:

В итоге получаем:

(5)

По определению принимают . Это определение можно получить из формулы (5), если принять во внимание, что .

При вычислении числа комбинаций иногда удобно пользоваться соотношением:

(6)

Действительно, если по формуле (5) записать , тогда получим:

(7)

Последнее выражение совпадает с правой частью в формуле (5).

Отметим ещё, что числа – это коэффициенты в биноме Ньютона:

(8)

причём согласно с равенством (6) коэффициенты, равноотдалённые от окончания в формуле (8), равные между собой, то есть:

, , и т. д.

Перестановки и комбинации с повторениями

 Иногда бывают перестановки с повторениями: , которые можно образовать из элементов, среди которых одинаковых элементов 1-го типа, одинаковых элементов 2-го типа, и т. д. одинаковых элементов к-го типа, причём находятся по формуле:

(9)

Теперь рассмотрим комбинации с повторениями.

Число комбинаций с повторениями (обозначается ) из по элементов есть такие соединения по элементов в каждой (элементы могут повторяться), которые выбираются из элементов типов, причём порядок элементов не учитывается, и находится по формуле:

(10)

где может быть .

Примеры решения задач с элементами комбинаторики

Пример 1

Задача

Студенты группы изучают 9 дисциплин по 3 пары ежедневно. Сколько существует способов, чтобы распределить пары на один день?

Решение

Все возможные способы распределения пар на день представляют собой, очевидно, все возможные размещения из 9 элементов по 3. Поэтому их количество равняется:

.

Ответ

Существует 504 размещений.

Пример 2

Задача

Автомобильный номер состоит из 5 цифр (из такого набора: и двух букв. В соединении из букв для номеров автомобилей, какие зарегистрированы в Московской области, на первом месте стоит буква , а на втором месте одна из букв А, Б. В, И. К, Н. Сколько автомобильных номеров можно составить в области?

Решение

Числовая часть номера – один из размещений из по с повторениями. И количество:

Из них необходимо исключить размещение 000-00, так как такой номер не используется, то есть, всех числовых соединений будет:

.

Количество соединения букв 7. Первая буква фиксированная, тогда остаётся шесть. Общее число всех автомобильных номеров при изложенной системе равняется:

.

Ответ

Автомобильных номеров в одной области можно составить по числам – 99 999, а по буквам – 599994.

Пример 3

Задача

Сколько пятизначных телефонных номеров можно составить используя цифры 3, 4, 5, 6, 7 (без повторений)?

Решение

Так как каждый номер телефона складывается из 5 цифр, тогда такие номера будут отличаться только порядком цифр, то есть это будут перестановки, и их количество равняется:

.

Ответ

Всего можно составить 120 пятизначных номеров.

Пример 4

Задача

Сколько есть способов, чтобы заполнить карточку спортлото, в которой из 49 чисел необходимо выбрать 6?

Решение

Две заполненные карточки считаются разными, если среди выбранных 6 чисел они отличаются хотя бы одним числом, то есть это будут комбинации, и их количество равняется:

.

Ответ

Количество комбинаций =

Пример 5

Задача

Сколько есть способов, чтобы в данном тайме тренер смог бы выставить на поле 5 баскетболистов, если в команде 10 игроков, причём одного из ведущих игроков тренер планирует задействовать в игре не заменяя на другого игрока весь тайм?

Решение

Так как один из ведущих игроков должен находится на поле в игре весь тайм, тогда менять придётся только 4 игрока из оставшихся 9, то есть у нас получается:

Ответ

Есть 126 способов.

Пример 6

Задача

Сколько есть способов, чтобы расставить на первой горизонтальной шахматной доски такие фигуры: две ладьи, два коня, два слона, одного ферзя и одного короля?

Решение

Всего 8 фигур, причём , , , , , тогда:

.

Ответ

На первой горизонтальной шахматной доске с перестановками фигур можно расставить 5 040 раз.

Пример 7

Задача

Сколько разных соединений букв можно образовать, переставляя эти буквы:

1. В слове “мама”;

2. в слове параллелограмм.

Записать соединения букв.

Решение

1. В слове “мама” буквы, при этом две буквы “м”, и две буквы “а”. По формуле (9) всех перестановок будет:

.

А сами перестановки будут такими: “мама”, “маам”, амам”, “аамм”, “амма”.

2. В слове “параллелограмм” 12 букв, из них букв “а” – 3, “г” – 1, “е” – 1, “л” – 2, “м” – 1, “о” – 1, “п” – 1, “р” – 2. Всех перестановок будет:

.

Ответ

Всевозможных перестановок будет – .

Пример 8

Задача

На складе нужно получить 5 однотипных деталей, каждая из которых может быть покрашена в один из трёх цветов: красный, чёрный, зелёный. Сколько имеется способов, чтобы выбрать 5 деталей трёх цветов?

Решение

.

Ответ

Для того, чтобы выбрать 5 деталей 3 цветов, мы нашли 21 способ.

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/elementy-kombinatorik/

Комбинаторика

Паркетная комбинаторика

Основное правило комбинаторики

Размещение

Число размещений с возвращением

Перестановка из m различимых шаров

Число размещений без возвращений

Сочетание

Число сочетаний без возвращений

Перестановка из m шаров, неразличимых внутри групп

Число сочетаний с возвращением

Комбинаторика является одним из разделов математики, изучающая задачи расположения, сочетания, выбора объектов в различных ситуациях (условиях).

Иногда обсуждение “перестановок и сочетаний” начинается с вопроса, подобного следующему:

Сколькими способами может одеться человек, комбинируя три рубашки, два галстука и две пары ботинок?

Пусть первая координата указывает вариант выбора рубашки, вторая – галстука, а третья – ботинок.

Запишем:

(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (1,2,2) для комбинации с первой рубашкой

(2,1,1) (2,1,2) (2,2,1) (2,2,2) для комбинации со второй рубашкой

(3,1,1) (3,1,2) (3,2,1) (3,2,2) для комбинации с третьей рубашкой

Эта совокупность является множеством всех упорядоченных пар.

Теперь понятно, что правильным ответом служит число 3 ∙ 2 ∙ 2 = 12.

Итак, сформулируем общее утверждение:

Основное правило комбинаторики

Пусть необходимо несколько раз произвести выбор. Существует m1 вариантов при первом выборе, m2 – при втором, m3 – при третьем и т.д.

Если каждый раз выбор производится без всяких ограничений, тогда общее число возможностей для всей последовательности выборов равно:

m1 ∙ m2 ∙ m3 ∙ …

Теперь познакомимся с основными стандартными методами вычислений, используемыми при решении комбинаторных задач.

Рассуждения будем приводить на основе следующего примера:

Пусть урна содержит m различных шаров с номерами от 1 до m. Из неё извлекаются n шаров при соблюдении некоторых условий на способ извлечения. Для каждой модели вычисляются количества всех возможных исходов.

1.1 Число размещений с возвращением

Шары извлекаются наудачу один за другим, причем каждый вынутый шар возвращается назад в урну прежде, чем будет извлечен следующий. При этом записываются номера шаров в порядке их появления.

Таким образом, мы имеем дело с упорядоченными наборами (a1,…,an), в которых каждое aj может принимать любое значение от 1 до m.

Основное правило сразу приводит к ответу mn для полного числа исходов.

Шары извлекаются наудачу один за другим, однако в данной модели они не возвращаются обратно в урну. Мы снова имеем дело с упорядоченными наборами (a1,…

,an), но уже с ограничением, что в них все aj различны. Конечно, должно выполняться неравенство n меньше или равно m. Основное правило напрямую не применимо.

Тем не менее, принимая во внимание, что на каждом шаге число шаров в урне становится на один меньше, можем записать:

m ∙ (m-1) ∙ (m-2) ∙ … ∙ (m – (n-1)) = (m)n

Данная модель имеет важный частный случай – модель перестановок.

Рассмотрим модель 1.2 при m = n.

Тогда все m шаров извлекаются один за другим без возвращений. Результатом выбора является набор из m занумерованных шаров, расставленных в некотором порядке. Полное количество возможностей совпадает с числом всех расположений элементов множества {1,2,..,m}. Это число называется факториалом от m и обозначается

m! = (m)m = m ∙ (m-1) ∙ … ∙ 2 ∙ 1

Модель подразумевает, что порядок номеров вытянутых шаров не фиксируется. В отличие от модели размещений, наборы, отличающиеся только порядком следования элементов, считаются одинаковыми.

2.1 Число сочетаний без возвращения

Итак, вынутые шары не возвращаются назад в урну, а также не фиксируется порядок их номеров в процессе извлечения.

Другими словами, можно представить себе, что все n шаров вынимаются сразу за одно извлечение.

Следовательно, мы имеем дело с выбором произвольного подмножества размера n из множества размера m.

Из предыдущих рассуждений понятно, что упорядоченная выборка размера n порождает n! неупорядоченных, по каждой из которых можно однозначно восстановить исходную.

Из обсуждения модели 1.2 известно, что количество последовательных наборов размера n равно (m)n.

Обозначим за x искомое число исходов (подмножеств размера n). Проведенные выше рассуждения показывают, что

n! ∙ x = (m)n

Отсюда получаем искомый ответ:

Если умножить числитель и знаменатель на (m-n)!, получим:

(*)

Выражение (*) называется биномиальным коэффициентом и играет важную роль в теории вероятностей.

Заметьте, что верно тождество

2.1.a. Перестановка из m шаров, неразличимых внутри групп

Допустим,что у нас есть m1 шаров цвета номер 1, m2 шаров цвета номер 2, … mr шаров цвета номер r. Цвета различаются, а шары одного цвета – нет.

Конечно, m1 + m2 +… + mr = m. Сколько существует отличающихся перестановок таких шаров?

Используя рассуждения из 1.2.a. для каждой первоначальной перестановки без различения шаров одного цвета в силу основного правила существует

m1! ∙ m2! ∙ … ∙ mr!

новых способов размещения с учетом нумерации.

Рассуждения аналогичные проведенным для модели 2.1 показывают, что искомое число ненумерованных перестановок равно частному:

Число называется мультиномиальным (или полиномиальным) коэффициентов. Когда r=2, коэффициент сводится к биномиальному.

Из урны извлекаются один за другим n шаров, каждый вынутый шар возвращается назад прежде, чем будет извлечен следующий.

При этом (возможно, повторяющиеся) номера всех вынутых шаров регистрируются в виде неупорядоченного набора (группы), т.е. без обращения внимания на порядок их появления.

К.Л. Чжун, Ф. АитСахлиа. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика. Перевод с английского М.Б. Лагутина, М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007

В начало

портала

Источник: http://statistica.ru/branches-maths/kombinatorika1/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

    ×
    Рекомендуем посмотреть